Detect, diagnose and intervene: Students’ mathematics-specific difficulties with linear equations in an online learning environment

Denne ph.d.-afhandling udforsker de matematik-specifikke vanskeligheder, studerende står over for, når de arbejder med lineære ligninger i et online læringsmiljø kaldet MatematikFessor. Miljøet har eksisteret i mere end 12 år og giver elever mulighed for at arbejde med matematiske opgaver i en webbrowser. Lærere kan tildele deres elever arbejde i miljøet, og miljøet præsenterer lærerne for statistiske overblik baseret på, hvor mange rigtige svar eleverne afgiver.
Mit formål med at udforske data fra MatematikFessor er at give lærere nye muligheder for at hjælpe deres elever med at overvinde de matematiske specifikke vanskeligheder der opleves i arbejdet med lineære ligninger. Rammerne for at arbejde med elever, der oplever vanskeligheder, udspringer af Matematikvejlederuddannelsens ramme (Jankvist & Niss, 2015) for at detektere elever, der oplever  vanskeligheder og diagnosticere oprindelsen eller årsagerne til disse vanskeligheder, inden der etableres interventioner, der skal hjælpe eleverne med at komme forbi disse vanskeligheder.
Afhandlingen består af en samling af seks artikler og dette dokument, der fungerer som en metodisk struktur
for det samlede ph.d.-projekt.
Artikel A er skrevet i samarbejde med med-ph.d.-studerende Christian Hansen og havde til formål at verificere det diagnostiske potentiale af opgaver fokuseret på ligningsløsning, der allerede var implementeret i MatematikFessor. Vi fandt ud af, at disse opgaver ikke er tilstrækkelige til at muliggøre identifikation af elevernes vanskeligheder med at fortolke og løse lineære ligninger.
Artikel B fungerer som rygraden i denne afhandling og er skrevet i samarbejde med min hovedvejleder prof. Uffe Thomas Jankvist. Denne artikel præsenterer en forskningslitteraturgennemgang om elevers vanskeligheder med at arbejde med begreber tilknyttede lineære ligninger. Endvidere præsenterer artiklen et sæt designprincipper baseret på litteraturgennemgangen til at designe opgaver, der sigter mod at afdække elevernes vanskeligheder med at løse lineære ligninger, egnet til implementering i MatematikFessor.
Artikel C er skrevet i samarbejde med min medvejleder Prof. Jeremy Hodgen og præsenterer designprincipper for design af alternative opgaver til online læringsmiljøer, der sigter mod at sætte lærere i stand til at stille hypoteser om deres elevers skemaer (Vergnaud, 2009) som et udtryk for deres handlinger når der arbejdes med elementer af ligningsløsning, mere præcist fortolkningerne af lighedstegnet.
Artikel D er også skrevet i samarbejde med med-vejleder prof. Jeremy Hodgen og giver indsigt i, hvor vigtig opgavedesign er, når opgaver designes til diagnostiske formål. Artiklen præsenterer et replikationsstudie med den berømte opgave 8 + 4 = ___ + 7 (Falkner et al., 1999), inklusiv variationer implementeret i MatematikFessor. Resultaterne fra den oprindelige undersøgelse blev sammenlignet med resultaterne fra Paper D og giver anledning til interessante forskelle og ligheder.
Artikel E er skrevet i samarbejde med professor Morten Mørup (Danmarks Tekniske Universitet) og præsenterer en storstilet dataanalyse af 892 unikke ligninger designet efter principperne i Paper B. Analysen benyttede et omfattende kodesystem baseret på fortolkningen af de fem mest populære svar som svar på hver af de 892 ligninger. Undersøgelsen brugte co-clustering til at observere grupperinger af både elever og opgaver, der udviser lignende adfærd. Dataene består af 2.135.968 unikke svar leveret af 94.368 elever i MatematikFessor. Artiklen giver indsigt, der muliggør etablering af midler til at diagnosticere elever, der har problemer med at arbejde i matematikfessor, ved at generere omfattende feedback til lærere om deres elevers fejl og årsagerne til dem. Artiklen afslørede grupper af opgaver, der er særligt velegnede til at afsløre en bestemt fejltype.
Artikel F er skrevet i samarbejde med med-ph.d.-studerende Lui A. Thomsen og er et forsøg på at designe og udvikle et virtuelt miljø, der giver lærere og studerende mulighed for at arbejde med at løse ligninger sammen. Miljøets specifikationer gør det muligt for brugere at arbejde med negative tal på den klassiske balancemodel, da tyngdekraften, der påføres af negative mængder på vægten, kan arbejde efter hensigten til at trække op på balanceskålen i stedet for at skubbe ned, som normale vægte ville.
Overordnet præsenterer afhandlingen viden om, hvad litteraturen og udforskningen af data fra MatematikFessor kan afsløre om de vanskeligheder, eleverne møder, når de arbejder med lineære ligninger. Indførelsen af terminologien for en opgaves 'diagnostiske værdi' bidrager til ideen om at undersøge kvaliteten af opgavedesign til diagnostiske formål. Derudover præsenterer afhandlingen forskningsbaserede forslag til, hvordan lærere kan lære af deres elevers fejl og deres vanskeligheder med at løse ligninger via forbedret feedback fra online læringsmiljøer. Denne afhandling foreslår, at udviklere af online læringsmiljøer deler ansvaret for at fortolke elevernes svar for at gøre det muligt for lærere bedre at hjælpe deres elever med at lære om lineære ligninger. Endvidere præsenterer afhandlingen ideer til, hvordan lærere kan arbejde sammen med deres elever om at overvinde elevens matematikspecifikke vanskeligheder relateret til negative tal, når der løses ligninger i et virtuelt miljø.
Didactical Engineering fungerer som en metodisk struktur for dette denne del af afhandlingen, der præsenterer og diskuterer resultaterne i de seks inkluderede artikler. Opbygningen af Didactical Engineering fører læseren gennem dokumentet i fire overordnede faser. Efter introduktionen og præsentationen af forskningsproblematikken er ph.d.-projekt skriftlige bidrag struktureret i de fire faser af Didactical Engineering.